Círculo y circunferencia: fórmulas y propiedades

¿Cuántos objetos redondos puedes nombrar en un minuto? ¡Seguro que más de diez! Pero, ¿crees que en cinco minutos podemos explicarte con claridad el tema del círculo y la circunferencia, mostrarte todas las fórmulas e incluso decirte de dónde viene el número pi? ¡Empieza a cronometrar y comencemos!

Circunferencia y círculo: definiciones

• Un círculo es una curva cerrada, cuyos puntos equidistan todos de su centro.
• Un círculo es una figura geométrica delimitada por una circunferencia.

Para que la diferencia entre las formas quede más clara, imagina los siguientes ejemplos: un círculo es una rosquilla, un círculo es un pastel de queso, o un círculo es una cerca alrededor de un campo, y un círculo es el campo mismo. Como habrás notado, un círculo es una figura rellena, mientras que un círculo es esencialmente un marco circular.

Y aunque estos conceptos presentan claras diferencias, el significado de sus elementos es completamente idéntico (tanto un círculo como una circunferencia tienen centro, diámetro, radio, etc.).

Radio y diámetro de un círculo

El radio de un círculo es un segmento que conecta el centro del círculo con un punto de la circunferencia. Se pueden dibujar infinitos radios en un solo círculo, y todos serán iguales.

El radio se designa mediante una combinación de letras, por ejemplo OA, OB, OC, donde O es el centro del círculo y los puntos A, B y C se encuentran sobre el círculo.

Para indicar el radio del círculo inscrito, se suele usar una r minúscula, y para el círculo circunscrito, una R mayúscula; en todos los demás casos, puede elegir entre una letra minúscula y una mayúscula a su discreción.

• El diámetro de un círculo es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por su centro. Al igual que con los radios, se puede dibujar un número infinito de diámetros en un círculo.

El diámetro se puede designar con las letras d o D, así como con combinaciones de letras (por ejemplo, AB, CD, etc., en cuyo caso no es necesario nombrar el punto central del círculo que se encuentra en este segmento).

Un diámetro contiene dos radios D = 2r, o el radio de un círculo es igual a la mitad de su diámetro r = 1/2 D.

Cuerda de un círculo y sus propiedades

Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos en un círculo.

No existe una designación especial para una cuerda; se nombra según los puntos que conecta.

Esto es interesante

Técnicamente, el diámetro de un círculo es su cuerda, ya que por definición es un segmento que conecta dos puntos de la circunferencia. Pero recuerda: todo diámetro es una cuerda, pero no toda cuerda es un diámetro.

Propiedades de un acorde:

• Un diámetro perpendicular a una cuerda divide esta cuerda y ambos arcos subtendidos por ella por la mitad.

• Los arcos encerrados entre cuerdas paralelas son iguales.

• En un círculo, las cuerdas iguales se encuentran a igual distancia del centro del círculo.
• Si dos cuerdas de un círculo AB y CD se intersecan en un punto M, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda: AM * MB = CM * MD.

• El ángulo entre dos cuerdas secantes de un círculo es igual a la mitad de la suma de los arcos comprendidos entre ellas.

Arco, longitud de arco, medida de arco en grados

Un arco es una parte de un círculo, una curva delimitada por dos puntos arbitrarios.

Un arco de círculo se denota, por ejemplo, como AB o CD.

Dos puntos distintos cualesquiera, A y B, situados en un círculo, lo dividen en dos partes; cada una de estas partes se denomina arco.

Un arco tiene dos dimensiones: su medida en grados y la longitud de la línea curva que lo dibuja.

La longitud del arco se puede calcular utilizando la fórmula:

l = (π * R / 180) * a donde R es el radio del círculo y α es el ángulo central que subtiende el arco.

La medida en grados de un arco es igual al ángulo central con el que interseca.

Es decir, si el ángulo α es igual a 60°, entonces el pequeño arco AB también es igual a 60°.

Ya te habrás dado cuenta de que el arco está conectado al ángulo central, pero ¿qué es? ¡Vamos a averiguarlo!

Ángulo central, ángulo inscrito y sus propiedades.

El ángulo central de un círculo es el ángulo cuyo vértice coincide con el centro del círculo.

Un ángulo inscrito en un círculo es un ángulo cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.

Entre el ángulo central y el ángulo inscrito que se encuentran sobre el mismo arco, existe la siguiente relación: el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central basado en el mismo arco: ADB = 1/2 AOB.

¿Qué otras propiedades son importantes para resolver problemas?

1. Los ángulos inscritos subtendidos por el mismo arco son iguales.

∠ADC = ∠ABC = ∠AEC

1. Si un ángulo inscrito se basa en el diámetro de un círculo, entonces dicho ángulo es un ángulo recto.

¿Cómo se explica esta propiedad? El diámetro recorta la mitad del círculo, y la medida de este arco es de 180°. Por lo tanto, el ángulo inscrito que subtiende será igual a la mitad del arco, es decir, 90°.

Tangente y secante de un círculo

Una tangente a un círculo es una línea que tiene un único punto en común con el círculo.

La secante de un círculo es una línea que interseca el círculo en dos puntos.

Propiedades de las tangentes

1. La tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia.
2. Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia son iguales. Estos segmentos forman ángulos iguales con la línea que pasa por dicho punto y por el centro de la circunferencia.

Teoremas sobre rectas secantes y tangentes

• Para cualquier secante y tangente que pasen por el punto A, se cumple la siguiente igualdad:

AC² = AD ⋅ AE

• Para cualesquiera dos secantes que pasan por algún punto O, se cumple la siguiente igualdad:

Ángulos y arcos entre tangentes y secantes

Las siguientes relaciones existen entre arcos y ángulos formados por secantes y tangentes. ¡Guarda este recordatorio y compártelo con tus amigos!

Propiedades básicas de un círculo

• Una línea recta puede no tener puntos en común con un círculo; puede tener un punto en común con el círculo (una tangente); puede tener dos puntos en común con él (una secante).

• Mediante tres puntos que no se encuentran en la misma línea, se puede dibujar un círculo, y solo uno.
• El punto de contacto de dos círculos se encuentra en la línea que une sus centros.La medida en grados de un círculo es 360°.

Fórmulas para la circunferencia y el área de un círculo

La circunferencia de un círculo es análoga al perímetro: si el perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados, entonces la circunferencia de un círculo es la longitud de la curva (ya que un círculo no tiene lados, sería incorrecto aplicarle el concepto de perímetro).

La circunferencia de un círculo se suele representar con las letras l o C.

C = 2 * π * R = π * D, donde

• π = 3,14 es una constante matemática (valor constante);
• R es el radio del círculo;
• D es el diámetro del círculo.

¿De dónde proviene el número Pi?

Volvamos a examinar la fórmula para la circunferencia de un círculo y expresemos este número a partir de ella:

do = π D – π =do/D

Es decir, el número pi representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Ya en la antigüedad, los científicos observaron que esta relación (cociente, diferencia) se cumple para cualquier círculo, sin importar su tamaño.

El número π (Pi) es una fracción decimal infinita, pero por conveniencia se redondea a 3,14. Es decir, el diámetro de un círculo es un poco más de tres veces menor que su circunferencia.

El área de un círculo se puede calcular utilizando la fórmula

do = π R² = 1/4 π D² , donde

• R es el radio del círculo;
• D es el diámetro del círculo.

Sector y segmento de un círculo, sus áreas

Un segmento es una parte de un círculo delimitada por una cuerda y un arco.

Un sector es una parte de un círculo delimitada por dos radios y un arco.

Círculos concéntricos y anillo

Los círculos concéntricos son círculos con radios diferentes que tienen un centro común.

Un anillo es una parte de un plano delimitado por dos círculos concéntricos.

Ecuación de un círculo

Un círculo, al igual que una curva, puede definirse mediante una ecuación.

Así, un círculo con centro en el punto O, que coincide con el origen de coordenadas en el sistema cartesiano, viene dado por la ecuación:

x² + y² = r² , donde r es el radio del círculo.

Si el centro del círculo está dado por un punto con coordenadas (a; b), la ecuación del círculo se ve así:

(x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2

Por ejemplo, la ecuación de un círculo con centro en (−2; 3) y radio igual a 5 se ve así:

(x + 2) ² + (y − 3) ² = 25 o x² + 4x + y² − 6y − 12 = 0